İdeal Gaz Yasasına Newton Mekaniksel Bir Yaklaşım

Bu yazımızda bakacağımız şey fizik deyince aklımıza ilk gelen, gelmiyorsa da gelmesi gereken Newton yasaları ve lisede ezberleyebilmek için türlü türlü kodlamaların uydurulduğu (Bir öğrencinin psikolojisini kullandığı kodlamalardan anlayabilirsiniz.) ideal gaz yasası arasındaki ilişki. Yeşillik olsun diye biraz tarihsel bilgi verdikten sonra asıl zevkli kısma geçebiliriz. Boyle yasası, Charles yasası, Avagadro yasası ve Gay-Lussac yasasının bir araya getirilmiş şekli olan ideal gaz yasamız ilk defa 1834 yılında Emile Clapeyron tarafından ifade ediliyor[1]. Clapeyron Fransız bir fizikçi ve mühendis ayrıca kendisi termodinamiğin kurucularından, yetmemiş adını da Eyfel kulesindeki 72 isim arasına yazdırmış bir abimiz[2]. İdeal gaz yasası yukarıda da belirttiğimiz 4 deneysel yasanın birleşimi olsa da, 1856’da August Krönig 1857’de de Rudolf Clausius tarafından birbirlerinden bağımsız bir şekilde Mikroskobik Kinetik Teori’den de elde ediliyor[3][4]. Bu yazıda bu konuya girmeden daha basit işlemlerle denklemimizi elde edeceğiz. Baştan uyarımızı da yapalım. Denklemi elde etmek için kullanacağımız yöntem ne Mikroskobil Kinetik Teori ne de İstatiksel Mekanik kadar genel bir sonuç verecek, sadece 5-10 dakika eğlenmenizi sağlayacak.

Artık matematiğe geçebiliriz. İşlemler için bazı varsayımlara ihtiyacımız var. Zaten yasamız ideal gazlar için olduğundan bu varsayımlara izin verecek.

Varsayım 1: Gaz molekülleri rastgele hareket ederler ve herhangi bir yönün ayrıcalığı yoktur.

Varsayım 2: Gaz molekülleri noktasal parçacıklardır.

Varsayım 3: Gaz molekülleri birbirleriyle ve duvarla tam esnek çarpışma yaparlar.

Şimdi her kenarı L m uzunluğunda olan küp şeklinde içi gaz molekülleriyle dolu bir oda düşünelim.

Şekil 1.1

Bir molekülün A duvarına ilk çarpışından ikinci çarpışına kadar geçen süreye diyelim.

Çok sayıda molekülün rastgele hareketinden söz ettiğimiz için işlemlerimizi ortalama hız üzerinden yapacağız. Bu hız büyüklüğünü de diyeceğiz.

Neden böyle dediğimizi anlamadıysanız varsayım 1’e tekrar bakıp biraz üzerinde düşünün!

yi elde etmek için ihtiyacımız olan şeyler molekülün x ekseninde aldığı yol ve x eksenindeki hızı.

           (1)

           (2)

A duvarına çarpan molekül noktasal kabul edildiğinden(varsayım 2), moleküle duvar tarafından uygulanan kuvvet duvara dik yani yalnızca x bileşenine sahip olmalı.

O zaman       şeklinde ifade edilen Newton’un ikinci yasası sonucu momentum değişiminin yalnızca x yönünde olduğunu söyleyebiliriz. Varsayım 3 ile birlikte düşündüğümüzde aşağıdaki eşitliği elde ederiz.

           (3)

 : momentum değişimi
   : bir molekülün kütlesi

Şimdiye kadar hep moleküle duvar tarafından uygulanan kuvvetten bahsettik fakat artık kuvvet dediğimizde molekülün duvara uyguladığı kuvvetten bahsetmiş olacağız. Zaten Newton’un 3. yasası sebebiyle bu iki kuvvetin büyüklük olarak eşit olduğunu biliyoruz.

‘nin küçük bir değer olmasından(oda sıcaklığındaki bir hava molekülünün hızı ortalama 500 m/s yani 1800 km/sa ) ve süresi boyunca odadaki her molekül A duvarına bir kere çarptığından dolayı, momentum değişimine sabep olan ve çok kısa bir süre etkiyen kuvvetin yerine, süresi boyunca etkiyen ortalama bir kuvveti koyabiliriz. Bu ortalama kuvveti de itme-momentum teoreminden elde edebiliriz.Aslında “ süresi boyunca odadaki her molekül A duvarına bir kere çarptığı” ifadesi yanlış bir ifade ama başta kabul ettiğimiz varsayımlar ve işlemlerde her zaman ortalama bir değerden söz ettiğimiz için sayısal olarak aynı sonucu elde ediyoruz.

          (4)  (itme-momentum teoremi)

(2) ve (3) ü birleştirirsek

          (5)

A duvarına uygulanan toplam kuvvet, odadaki molekül sayısına N dersek

          (6)

A duvarına uygulanan basınç

          (7)

Moleküllerin ortalama kinetik enerjisi ve sıcaklık arasındaki bağıntıyı veren denklemden

          (8)

R     : Gaz sabiti
T     : Sıcaklık(Kelvin)
 : Avagadro sayısı

          (9)

          (10)

Odanın hacmi

          (11)

Buraya kadar geldiyseniz yüzüğü yok etmek için Hüküm Dağına kadar gidip sonra vazgeçen Frodo gibi yapacak halimiz yok, başladığımız işi bitirmenin zamanı geldi.

(7) ve (11) den

          (12)

(10) numaralı eşitlikten

          (13)

Ve sonunda denklemimizi elde ettik!

Kaynaklar:

[1] Clapeyron, E. (1834). “Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur”. Journal de l’École Polytechnique (in French). XIV: 153–90

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Paul_%C3%89mile_Clapeyron

[3] Krönig, A. (1856). “Grundzüge einer Theorie der Gase”Annalen der Physik und Chemie (in German). 99 (10): 315–22.

[4] Clausius, R. (1857). “Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen”Annalen der Physik und Chemie (in German). 176 (3): 353–79.

Hakan Yeler

Related Articles

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *