Kuantum Mekaniğine İstatistiksel Giriş-Normalizasyon

Sözlük formatı olarak da bilinen, lafın değimiyle birazcık gevşek, bir dille ele alacağım bu yazı dizisinde; dil yapısının gevşekliğinin aksine matematiksel yönelim oldukça akademik olacaktır.

Öncelikle klasik mekaniği hakettiği kadar kısa bir biçimde özetlemekle başlayalım:

Belirli bir F kuvveti altında (bu F kuvvetinin tabi ki x ve t bağımlılığı var; F(x,t)) harekete zorlanan bir m kütleli bir cismin; klasik mekaniksel olarak ele alındığında bilinmesi gereken tek şey zamana bağlı konum denklemidir: X(t).

X(t) bilindikten sonrası sadece matematiksel operasyonlardan ibarettir.

  • Hız için v=\frac{\partial X(t) }{\partial t}
  • Momentum için p=mv
  • Kinetik Enerji için \frac{1}{2}mv^2
  • Potansiyel Enerji için U=\int Fdx gibi tüm dinamikler hesaplanabilir.

Çok basit bir şekilde özetlersek, klasik mekanik bakış açısıyla bir sistemin t=0 anındaki konum ve hız bilgisine sahipsek sistemin tüm zamanlardaki deterministik çözümlerine sahibiz. Bu konunun detaylarına ilerleyen zamanlarda diferansiyel denklemler üzerinden değinebiliriz. Klasik mekaniğinin ihtişamlı tarihi, Galilei, Newton, Huygens, Euler, Lagrange bunlara hep zamanla değineceğiz; lakin unutmayalım ki bu isimler olmasaydı modern bir dünyadan bahsedemezdik.

Biz şimdi biraz günümüze dönelim.

Kuantum mekaniği ile kuantum teorisini ayırmak gerektiğini düşünüyorum, bu nedenle kuantum teorisinin tarihiyle ilgili başka bir yazı dizisi oluşturuyoruz. Kuantum mekaniği yazı dizimizde ise matematiksel verilerle gerçek anlamda matematiksel bir mekaniği inceleyeceğiz.

Herkesin bugüne kadar en az bir kere duyduğu meşhur bir kelime var, şu meşhur Dalga Denklemi ( \psi(x,t)). Dalga denkleminin bir çok farklı yorumu var, bunların hepsine tek tek zamanı geldiğinde değineceğiz.:)

Dalga denkleminin kendisinin ne olduğunu tartışmadan önce (keza bu konu günümüzde hâlâ tartışılan bir konudur); dalga denklemini nasıl kullandığımıza bakalım.

\int_{x}^{x'} {\left | \psi(x,t) \right |^2dx}

üstteki denklem bize bir parçacığın herhangi bir t anında x ile x’ konumu arasında bulunma olasılığını verir. Dalga denklemi olarak tanımladığımız şeyin mutlak karesi‘nin konum üzerinden belirli integraliyle parçacığın konumunu olasılıksal olarak buluyoruz.

Şimdi şöyle düşünmenizi istiyorum; uzayımızın serbestlik derecesi sadece x yönünde olsun yani tek boyutlu bir uzay düşünelim. Parçacığımız da bu x boyutuna hapsolmuş olsun. Bu durumda integralimizin limitlerini – sonsuz ile + sonsuz aralığında alırsak bu integralin sonucu 1 olmalıdır. Çünkü bu integral bize parçacığımızın bir aralıkta bulunma olasılığını veriyor, parçacığımız elbet bir yerde bulunmak zorunda olduğu için -sonsuz ve +sonsuz aralığını düşündüğümüzde olasılığımız 1 olmalıdır. Buna NORMALİZASYON diyoruz.

\int_{-\infty}^{+\infty} {\left | \psi(x,t) \right |^2dx} = 1

Şimdi Griffits’in 1.8 nolu sorusuyla biraz detaylıca bakalım;

Griffits’in 1.8 nolu problemini ele alacağız.

\psi(x,t)= A e^{^{-\lambda \left | x \right | }}e^{-\omega t}

Öncelikle normalizasyon katsayımız olan A’yı bulalım;

\int_{-\infty}^{+\infty} \left |\psi(x,t) \right |^2dx=1

İntegralimizi düzenlersek, bu noktada temel kalkülüs bilgilerine hakim olmamız gerekli. Katsayımız A’yı dışarıya alıyoruz ve integralimiz çift integral olduğu için -sonsuz ile +sonsuz arasında olan integralimizi; 0‘dan +sonsuz‘a olacak şeklinde düzenliyoruz.

2 \left | A \right |^2\int_{0}^{\infty} e^{2 \lambda x}dx=1

2 \left | A \right |^2 \left ( e^{\frac{-2 \lambda x}{-2 \lambda}} \right ) |_{0}^{\infty}=\frac{\left | A \right |^2}{\lambda}=1

Buradan A’yı

A=\sqrt{\lambda}

olarak buluruz.

Related Articles